EJERCICIOS DE LAS DIFERENTES ANUALIDADES

Ejercicios de David Beltrán

RENTAS GENERALES

Anualidad Perpetua

Una perpetuidad es cuando los pagos fijos por un tiempo ilimitado lo que crea la necesidad de que el capital nunca se agote.

Por lo tanto, la renta deberá ser menor o igual a los intereses que genere el capital correspondiente; y por eso nunca debe estar por arriba del resultado que se obtiene al multiplicar C por i.

PERPETIUDADES

Anualidad Diferida

ANUALIDAD DIFERIDA: Es aquella en la que el pago puede realizarse en cualquier momento del período.

Ejemplo Anualidad Diferida

Anualidades Vencidas y Generales

Recapitulando, recordemos que se conoce como intervalo o periodo de pago, al tiempo que transcurre entre un pago y otro, y se denomina plazo de una anualidad al tiempo que pasa entre el inicio del primer periodo de pago y el periodo final de pago. Renta es el nombre que se da al pago periódico que se hace.

Se denomina Anualidad Vencida, a todos aquellos pagos que se realizan al finalizar un período. Lo más común es hacer equivalencia de las rentas con el valor presente.

Ejemplo de Anualidad Vencid1

Anualidades Generales

En este tipo de anualidades los pagos se realizan en periodos distintos al tiempo en q la tasa de interes se capitaliza. El mejor método se solución es hacer equivalentes las tasas de acuerdo al tiempo.

Ejemplo de Anualidad Vencid1

Ejercicio en Clase

Anualidades Anticipadas

VALOR DE LAS ANUALIDADES ORDINARIAS
Las anualidades vencidas tienen como características por que los pagos se realizan al final del periodo, se asociaran las rentas con el valor equivalente al comenzar el plazo, todas y cada una de las aplicaciones mas comunes acerca de este tipo de anualidades hacen referencia a la amortización de deudas como los créditos hipotecarios de una casa que se van liquidando en pagos periódicos con un porciento de interés que se aplica a dicha deuda.

AJUSTE DEL NÙMERO DE RENTAS
Lo que nos explica este teme es que en virtud que los intereses se hacen efectivos hasta que concluyen periodo completo, el resultado anterior deberá ser un entero, es por eso que se hace un ajuste, siempre que se cuestione el numero de rentas como las siguientes maneras que a continuación se presentan;
 Redondeando x al entero menor, razón por la cual los abonos crecen
 Redondeando al entero mayor, con lo que la renta disminuye
 Con un pago menor al final del plazo


ANUALIDAD GENERAL
Como ya lo mencionamos anualidad es general cuando los pagos se realizan en periodos distintos a la frecuencia con que los intereses se capitalizan. Un método de solución consiste en transformar la anualidad general en simple. Utilizando la tasa de interés equivalente.

EJEMPLOS

DEFINICIONES Y CLASIFICACIÒN D LAS ANUALIDADES

 

Anualidad: es una sucesión de pagas generalmente iguales que se realizan a intervalos de tiempo iguales y con interés compuesto. Quizà los pagos sean iguales entre sì, por la misma cantidad o diferentes.

Renta de la anualidad se expresa con R

Intervalo de pago: es el tiempo que hay entre dos pagos sucesivos, y el plazo de la anualidad es el tiempo entre las fechas inicial del primer periodo y terminal del último.

El valor equivalente a las rentas del inicio del plazo se conoce como capital o valor presente C. Su valor al final del plazo es el valor futuro o monto de la anualidad, que se expresa con M.

ELEMENTOS DE UNA ANUALIDAD

Si el propietario de un departamento suscribe un contrato de arrendamiento por un año, para rentarlo en $6500 por mes entonces:

El plazo es de un año, la renta R=$6500 y el intervalo de pago es un mes. Ademàs si el inquilino decide pagar  por adelantado por la forma del contrato el equivalente a las 12 mensualidades, entonces el propietario, a causa de  los intereses que devenga el dinero anticipado, recibirà un capital menor a los $78000, que obtendría durante el año. Este capital es el valor presente o valor actual de la anualidad.

CLASIFICACIÒN DE LAS ANUALIDADES

Genéricamente la frecuencia de pagos que coincide con la frecuencia de capitalizaciones de intereses, pero es posible que no coincida. Quizá también la renta se haga al inicio de cada periodo o al final: o que la primera se realice en el primer periodo o algunos periodos después. Dependiendo de èstas y otras variantes, las anualidades se clasifican de la siguiente manera:

Segùn las fechas inicial y terminal del plazo:

v  Anualidad cierta: cuando estipulan, es decir, se conocen las fechas extremas del plazo. En un crédito automotriz, por ejemplo, se establecen desde la compra el pago del enganche y el número de mensualidades en las que se liquidará el precio del automóvil.

v  Anualidad eventual o contingente: cuando no se conoce al menos una de las fechas extremas del plazo. Un ejemplo de este tipo de anualidades es la pensión mensual que de parte del IMSS recibe un empleado jubilado, donde la pensión se suspende o cambia de magnitud al fallecer el empleado.

Segùn los pagos:

v  Anualidad anticipada: cuando los pagos o las rentas se realizan al comienzo de cada periodo. Un ejemplo de este tipo se presenta cuando se deposita cada mes un capital, en una cuenta bancaria comenzando desde la apertura.

v  Anualidad ordinaria o vencida: cuando los pagos se realizan al final de cada periodo. Un ejemplo es la amortización de un crédito, donde la primera mensualidad se hace terminar el primer periodo.

De acuerdo con la primera renta:

v  Anualidad inmediata: cuando los pagos se hacen desde el primer periodo. Un ejemplo de esta categoría se presenta en la compra de un departamento, donde el enganche se paga en abonos comenzando el día de compra.

v  Anualidad diferida: cuando el primer pago no se realiza en el primer periodo, sino después, el ejemplo se relaciona con las ventas a crédito de tipo compre ahora u pague después, que es un atractivo sistema comercial que permite hacer el primer abono dos o más periodos después de la compra.

Segùn los intervalos de pago:

v  Anualidad simple: cuando los pagos se realizan en las mismas fechas en que se capitalizan los intereses y coinciden las frecuencias, de pagos y de conversión de intereses.

v  Anualidad general: cuando los periodos de capitalización de intereses son diferentes a los intervalos de pago. Una renta mensual con intereses capitalizables por trimestres es un ejemplo de estas anualidades.

v  Anualidad perpetua: la cual se caracterizan  porque los pagos se realizan por tiempo limitado. La beca mensual, determinada por los intereses que genera un capital donado por personas

También es cierto que los problemas de las anualidades se resuelven:

v  Con tablas financieras con las que se obtiene el valor presente o el valor acumulado para np rentas unitarias.

v  Empleando formulas que para cada clase de anualidad existen y aquí se deducen, ya que la gran mayoría de los ejercicios en este libro se resuelven de esta manera.

v  Utilizando dos formulas, la del interés compuesto y la suma de los primeros términos de una progresión geométrica.

v  Con programas y paquetería de software que hay en el mercado

Para decidir con acierto como plantear o a qué  clase de anualidad corresponde o se ajusta una situación particular, se sugiere considerar lo siguiente antes de entrar a detalles de cada una de ellas.

En vez de la recta horizontal que, utilizaremos rectángulos que representan los periodos, y en cada uno de su extremo derecho o izquierdo se grafican fichas verticales indicando la renta o pago de la anualidad, utilizando puntos suspensivos para representarlos a todos sin tener que graficarlos

 

Al no especificarse lo contrario las anualidades anticipadas se asociarán con el valor futuro del término del plazo, mientras que las ordinarias serán asociadas con su valor presente al comenzar el plazo, es decir:

ANUALIDAD ANTICIPADA

VALOR FUTURO O MONTO

ANUALIDAD ORDINARIA

VALOR PRESENTE O CAPITAL

 

 

 

 

                                                                                                                                                             

 

 

CLASIFICACION DE LAS ANUALIDADES

La mayoría de las veces los pagos coinciden con frecuencia de capitalización de intereses; pero hay ocasiones en que no se llega a la coincidencia; esto depende de las rentas de cómo se realicen ya sea al inicio de cada periodo o al final, en el primer periodo o después etc.

Clasificándose en:

SEGÚN LAS FECHAS INICIAL  Y TERMINAL DEL PLAZO

Anualidad Cierta: Si se conocen las fechas  de un plazo el crédito se realiza desde el pago del enganche y el número de meses a liquidar

Anualidad Eventual o Contingente: Es cuando no se conocen las fechas del plazo

SEGÚN LOS PAGOS

Anualidad Anticipada: Cuando los pagos de las rentas se hacen al inicio de cada periodo

Anualidad Ordinaria o Vencida: Cuando los pagos se realizan al final de cada periodo; como las amortizaciones que se realizan al término de cada pago

DEACUERDO CON LA PRIMERA RENTA

Anualidad Inmediata: Los pagos se realizan en el primer periodo

Anualidad Diferida: E s cuando el primer pago se realiza asta después

SEGÚN LOS INTERVALOS DE TIEMPO

Anualidad Simple: los pagos se realizan en las fechas en que se capitalizan los intereses, concibiendo en las frecuencias de pago y en la conversión de interés

Anualidad General: Los periodos de capitalización de interés son diferentes a los intervalos de pago

Anualidad de la Perpetuidad o Perpetua: Son los de pago que se realizan por tiempo ilimitado

A.      Los problemas de anualidad se pueden resolver con la ayuda de tablas financieras  donde se obtiene el valor presente o el valor acumulado en rentas unitarias , las tasa de , y plazos o números de renta .

B.      También se utilizan las formulas del interés compuesto y la de la suma de los primeros términos de una progresión geométrica. Como se muestra:

 

Las flechas horizontales indican el traslado de cada renta el final del plazo sumando los intereses de cada una y después todas

 

Si en dado caso si deseamos el valor presente  de las rentas al inicio del plazo entonces se ubicarán al final de cada periodo.

 

MONTO DE UNA ANUALIDAD ANTICIPADA

Se ha dicho que una anualidad es anticipada si los pagos se realizan al comenzar cada periodo. Para hallar el monto de una anualidad anticipada, a cada renta se le agregan los intereses que dependen del numero de periodos halla entre renta y renta y el final del plazo. Por lo tanto, la fórmula del interés compuesto se emplea para cada monto parcial después se suman y se obtiene una formula general.

Cabe señalar que cada  anualidad se resuelve aplicando apropiadamente esta fórmula general, ya que si se tiene un valor único equivalente a todas las rentas, al término del plazo este se traslada a cualquier otra fecha con la fórmula del interés compuesto.

Deducción de la formula general

Ejemplo: obtenga el monto que se acumula en dos años , si se depositan $1,500 al inicio de cada mes en un banco que abona en una tasa del 24% anual capitalizable por meses.

La anualidad es simple por que coinciden la frecuencia de conversión y de los pagos;  es cierta por que se conocen el numero de rentas; es inmediata por que desde el primer periodo se hacen los depósitos; y es anticipada por que estos últimos se realizan al principio de cada periodo mensual.

Los montos parciales son, respectivamente:

=                                      

El valor futuro o monto de la anualidad es la suma de todos los anteriores, que en orden inverso es:

Se factoriza la renta $1,500, y lo que queda entre los corchetes corresponde a los términos de una progresión geométrica cuyo primer término es ; la razón es también  y el numero de términos es m=24. Por tanto:

La suma es:

Si se sustituye este resultado en la ecuación, se tendrá que el monto total es:

Para generalizar, note que el primer término y la razón son:

Y el número de términos es el número de rentas:

La suma es, entonces:

     Se cancelan los unos del nominador.

 

 

El monto acumulado de np depósitos anticipados en las anualidades simples y ciertas es:

 

Tasa nominal quincenal y recuperación de pagaré

¿Qué tasa de interés capitalizable por quincenas le están cargando a la señora de Ramírez, si para recuperar un pagaré con valor nomina de $39, 750, incluidos los intereses, hace 15 pagos quincenales anticipados de $2400?

*Se trata de una anualidad anticipada

M= 39,750 valor futuro

R= 2,400 la renta quincenal

p= 24, la frecuencia de pagos y de conversión

n= 15/24, el plazo en años

np= 15, el número de rentas

i= incógnita

Por lo tanto, 39,750 = 2,400  

16.5625 =

Para determinar el valor de con mayor exactitud, o para encontrarlo sin el uso de tablas, se procede con interacciones, dando a x valores sucesivos hasta alcanzar la precisión deseada. A continuación se indican algunos de tales valores.

Primero se simplifica la ecuación anterior, multiplicándola por x y otras operaciones algebraicas.

                                                        

Si  x = 0.01

Si  x= 0.02

 

Si  x =

Si  x = 0.012:

X = 0.012287288, el resultado es 1.000000001

X = i/24 = 0.01228728

I = 0.294894912% es la tasa anual capitalizable por quincenas que le cargan a la señora Ramírez.

 

Monto en cuenta de ahorros e intereses

¿Cuánto se acumula en una cuenta de ahorros con 32 pagos quincenales de $625 cada uno, si la tasa de interés nominal quincenal en los primeros 5 mese es del 22.32%, y después aumenta 2.4 puntos porcentuales por año cada trimestre?, ¿Cuánto se genera por concepto de intereses?

         o           

       o      

Este monto deberá sumarse con el monto acumulado M₂ de la segunda anualidad:

El acumulado de las primeras 18 rentas es, entonces:

Que también se traslada con la nueva tasa, la del tercer grupo de rentas, hasta el final de la tercera anualidad, ocho quincenas después.

             ó        

Monto que debe sumarse al monto M₃ del tercer grupo de rentas:

        ó          

Entonces,

Que es el acumulado de los 26 depósitos al término de la tercera anualidad. Este monto se lleva hasta la fecha terminal del plazo, y, finalmente, se suma con el monto M₄ de la última que comprende seis quincenas.

      ó    

e  es la quincenal capitalizable por quincenas, entonces

     Y

Consecuentemente el monto acumulado de los 32 depósitos quincenales en la cuenta de ahorros al final del plazo es:

Los intereses son la diferencia entre este monto y el total invertido en los 32 pagos quincenales.